Problema resolt PAU Física: camp elèctric de la Terra i una gota que levita

Resolem pas a pas un exercici real de la selectivitat de Física de Catalunya sobre camp elèctric: la càrrega que crea un camp, la força sobre un electró i l'equilibri entre pes i força elèctrica.

Font: PAU 2024, convocatòria ordinària, sèrie 1, problema P3 (Canal Universitats, Generalitat de Catalunya). Enunciat reproduït amb finalitat educativa; la resolució és de CiènciesCat.

Enunciat

La superfície de la Terra és principalment aigua que conté ions en dissolució i que li fan adquirir una càrrega neta negativa. Es pot considerar que la Terra té un camp elèctric en punts propers a la seva superfície amb un mòdul constant de 150 N/C.

a) Dibuixeu l'esfera terrestre i representeu-hi el camp elèctric al voltant de la superfície. Calculeu el valor de la càrrega total que produeix aquest camp elèctric. Per fer-ho, considereu que el camp elèctric creat per una superfície esfèrica carregada uniformement és igual al generat per tota la càrrega situada al centre de l'esfera. [1,25 punts]
b) Calculeu el mòdul de la força elèctrica que produirà el camp elèctric sobre un electró lliure situat a la vora de la superfície de la Terra. Calculeu la massa que ha de tenir una gota esfèrica d'aigua amb una càrrega extra d'un sol electró perquè el seu pes es compensi amb la força elèctrica. Feu un esquema en què es mostrin les forces que actuen sobre la gota. Calculeu el diàmetre d'aquesta gota d'aigua. [1,25 punts]

Dades: \(R_T=6{,}37\times10^6\) m; \(\rho=10^3\ \text{kg/m}^3\); \(M_e=9{,}11\times10^{-31}\) kg; superfície esfèrica \(4\pi r^2\); volum d'una esfera \(\tfrac43\pi r^3\); \(|e|=1{,}602\times10^{-19}\) C; \(k=8{,}99\times10^9\ \text{N m}^2\,\text{C}^{-2}\); \(g=9{,}81\ \text{m/s}^2\).

Dibuix

Com que la Terra té càrrega negativa, el camp és radial i apunta cap al centre. Sobre una càrrega negativa (l'electró) la força va al revés del camp: cap amunt.

Dades

• \(E = 150\ \text{N/C}\)
• \(R_T = 6{,}37\cdot10^{6}\ \text{m}\)
• \(|e| = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{C}\), \(k = 8{,}99\cdot10^{9}\ \text{N m}^2/\text{C}^2\)
• \(\rho = 10^3\ \text{kg/m}^3\), \(g = 9{,}81\ \text{m/s}^2\)

La massa de l'electró no cal: és molt més petita que la de la gota.

Fórmules que farem servir

Pas a pas

Pas 1. Càrrega de la Terra. Tractem tota la càrrega com si fos al centre i el punt és a la superfície (\(r=R_T\)): $$|q|=\frac{E\,R_T^2}{k}=\frac{150\cdot(6{,}37\cdot10^6)^2}{8{,}99\cdot10^9}\approx6{,}77\cdot10^{5}\ \text{C}\;\Rightarrow\; q\approx-6{,}77\cdot10^{5}\ \text{C}$$

Pas 2. Força sobre un electró. $$F=|e|\,E=1{,}602\cdot10^{-19}\cdot150\approx2{,}40\cdot10^{-17}\ \text{N}\quad(\text{cap amunt})$$

Pas 3. Equilibri de la gota. Hi actuen dues forces: el pes cap avall i la força elèctrica cap amunt. Si la gota levita, són iguals: $$mg=|e|E\;\Rightarrow\; m=\frac{2{,}40\cdot10^{-17}}{9{,}81}\approx2{,}45\cdot10^{-18}\ \text{kg}$$

Pas 4. Radi i diàmetre. De la massa i la densitat traiem el volum i, d'aquí, el radi: $$r=\sqrt[3]{\frac{3m}{4\pi\rho}}=\sqrt[3]{\frac{3\cdot2{,}45\cdot10^{-18}}{4\pi\cdot10^{3}}}\approx8{,}36\cdot10^{-8}\ \text{m}\;\Rightarrow\; d=2r\approx1{,}67\cdot10^{-7}\ \text{m}$$

Resultat

a) \(q\approx-6{,}77\cdot10^{5}\ \text{C}\), camp radial cap al centre · b) \(F\approx2{,}40\cdot10^{-17}\ \text{N}\) · \(m\approx2{,}45\cdot10^{-18}\ \text{kg}\) · \(d\approx1{,}67\cdot10^{-7}\ \text{m}\) (167 nm)

Té sentit: amb un camp tan feble, només una gota microscòpica pot levitar amb un sol electró.

Errors típics

• Dibuixar el camp cap enfora: amb càrrega negativa, les línies entren cap al centre.
• Oblidar el signe negatiu de la càrrega de la Terra.
• Donar el radi quan l'enunciat demana el diàmetre.
• Fer servir la massa de l'electró com si fos la massa de la gota.

Què valora el corrector

• a) El dibuix amb el camp radial cap a la càrrega negativa (0,5 p), escriure \(E=kq/r^2\) (0,5 p), el valor de la càrrega (0,15 p) i el signe negatiu (0,10 p).
• b) La força (0,25 p), igualar pes i força i calcular la massa (0,5 p), l'esquema de forces (0,25 p) i el diàmetre (0,25 p).

Criteris segons la pauta oficial de correcció de la mateixa convocatòria.