Problema resolt PAU Física: camp gravitatori (Fobos, Deimos i la massa de Mart)

Resolem pas a pas un exercici real de la selectivitat de Física de Catalunya: calcular la massa d'un planeta a partir de l'òrbita d'un satèl·lit, el camp gravitatori a la superfície, un període amb la tercera llei de Kepler i una energia mecànica. És un dels tipus de problema que més surten a l'examen.

Font: PAU 2023, convocatòria ordinària, sèrie 1, problema P1 (Canal Universitats, Generalitat de Catalunya). Enunciat reproduït amb finalitat educativa; la resolució és de CiènciesCat.

Enunciat

Els dos satèl·lits de Mart, Fobos i Deimos, porten el nom dels fills bessons d'Afrodita i Ares. […] Els dos satèl·lits tenen forma irregular, però els podem aproximar a una esfera de diàmetre 22,2 km per a Fobos i de 12,6 km per a Deimos. […] El radi orbital mitjà (distància entre els centres dels dos objectes) de Fobos al voltant de Mart és de 9 377 km i el seu període de revolució és de 7 hores, 39 minuts i 14 segons. Sabent que el radi orbital mitjà de Deimos és de 23 460 km, determineu a partir d'aquestes dades:

a) La massa de Mart i la intensitat del camp gravitatori que Mart crea a la seva superfície. [1,25 punts]
b) El període de revolució de Deimos al voltant de Mart i la seva energia mecànica. [1,25 punts]

Dades: \(G=6{,}67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}\); \(M_{\text{Fobos}}=1{,}10\times10^{16}\) kg; \(M_{\text{Deimos}}=2{,}00\times10^{15}\) kg; \(R_{\text{Mart}}=3\,390\) km. Considereu que els dos satèl·lits descriuen una trajectòria circular al voltant de Mart.

Dibuix

La força gravitatòria de Mart sobre cada satèl·lit apunta cap al centre del planeta: és la força centrípeta que el manté en òrbita.

Dades (passades al SI)

• \(r_F = 9{,}377\cdot10^{6}\ \text{m}\)
• \(T_F = 7\cdot3600+39\cdot60+14 = 27\,554\ \text{s}\)
• \(r_D = 2{,}346\cdot10^{7}\ \text{m}\)
• \(R_M = 3{,}390\cdot10^{6}\ \text{m}\), \(M_D = 2{,}00\cdot10^{15}\ \text{kg}\)

Els diàmetres dels satèl·lits i la massa de Fobos no calen: són informació de context.

Fórmules que farem servir

Pas a pas

Pas 1. Velocitat angular de Fobos. Amb el període en segons: $$\omega=\frac{2\pi}{T_F}=\frac{2\pi}{27\,554}\approx2{,}28\cdot10^{-4}\ \text{rad/s}$$

Pas 2. La gravetat fa de força centrípeta. Escrivim la llei de gravitació universal, la segona llei de Newton i l'acceleració centrípeta, i les igualem (la massa de Fobos se simplifica): $$G\frac{M_F M_M}{r_F^2}=M_F\,\omega^2 r_F\;\Rightarrow\; M_M=\frac{\omega^2 r_F^3}{G}=\frac{(2{,}28\cdot10^{-4})^2\,(9{,}377\cdot10^6)^3}{6{,}67\cdot10^{-11}}\approx6{,}43\cdot10^{23}\ \text{kg}$$

Pas 3. Camp gravitatori a la superfície. $$g_0=G\frac{M_M}{R_M^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\,\frac{6{,}43\cdot10^{23}}{(3{,}390\cdot10^6)^2}\approx3{,}73\ \text{m/s}^2$$

Pas 4. Període de Deimos amb la tercera llei de Kepler. Fobos i Deimos giren al voltant del mateix planeta, per tant \(T^2/r^3\) és igual per als dos: $$T_D=T_F\left(\frac{r_D}{r_F}\right)^{3/2}=27\,554\left(\frac{2{,}346\cdot10^7}{9{,}377\cdot10^6}\right)^{3/2}\approx1{,}09\cdot10^{5}\ \text{s}\ (\approx30{,}3\ \text{h})$$

Pas 5. Energia mecànica de Deimos. En una òrbita circular, \(E_m=E_c+E_p=\tfrac12 mv^2-G\frac{Mm}{r}\), i com que \(v^2=GM/r\), queda: $$E_m=-G\frac{M_D M_M}{2r_D}=-6{,}67\cdot10^{-11}\,\frac{2{,}00\cdot10^{15}\cdot6{,}43\cdot10^{23}}{2\cdot2{,}346\cdot10^{7}}\approx-1{,}83\cdot10^{21}\ \text{J}$$ (La velocitat de Deimos és \(v=2\pi r_D/T_D\approx1{,}35\cdot10^3\) m/s, per si la vols fer servir directament.)

Resultat

a) \(M_M\approx6{,}43\cdot10^{23}\ \text{kg}\) · \(g_0\approx3{,}73\ \text{m/s}^2\) · b) \(T_D\approx1{,}09\cdot10^{5}\ \text{s}\) · \(E_m\approx-1{,}83\cdot10^{21}\ \text{J}\)

Té sentit: la gravetat de Mart és més o menys un terç de la terrestre, Deimos és més lluny i tarda més a fer una volta, i l'energia mecànica negativa indica una òrbita tancada.

Errors típics

• No passar el període a segons, o oblidar els minuts i els segons (7 h 39 min 14 s).
• Treballar amb km en lloc de m.
• Fer servir el radi de Mart en lloc del radi orbital per calcular la massa.
• Oblidar el signe negatiu o el 2 del denominador a l'energia mecànica.

Què valora el corrector

• a) Passar el període a segons i trobar \(\omega\) (0,1 p), escriure la llei de gravitació (0,2 p), la segona llei de Newton (0,1 p) i l'acceleració centrípeta (0,2 p), igualar i obtenir la massa (0,2 p), i la resta per \(g_0\). Es pot escriure directament \(g=GM/R^2\).
• b) El període amb la tercera llei de Kepler o amb \(\omega=\sqrt{GM/r^3}\) (0,5 p), la velocitat (0,25 p) i l'energia mecànica (0,5 p).
• Sempre: dir quines lleis fas servir, unitats correctes i resultats raonables.

Criteris segons la pauta oficial de correcció de la mateixa convocatòria.