Pla inclinat amb fregament: problema resolt pas a pas (Física 1r Batxillerat)

Enunciat

Una caixa de 5 kg es deixa anar des del repòs a dalt d'una rampa de 4 m de llarg inclinada 30°. El coeficient de fregament dinàmic és 0,2. Calcula: a) l'acceleració; b) la velocitat al final de la rampa; c) el temps que triga a baixar. Pren \(g = 9{,}8\ \text{m/s}^2\).

Dibuix

La caixa baixa cap a la dreta; el fregament sempre va en contra del moviment (rampa amunt).

Dades

• \(m = 5\ \text{kg}\)
• \(\alpha = 30^\circ\)
• \(\mu = 0{,}2\)
• \(L = 4\ \text{m}\), \(v_0 = 0\)

Pas a pas

Pas 1. Posem els eixos inclinats. Eix x paral·lel a la rampa (positiu cap avall), eix y perpendicular. Així l'acceleració només té component x.

Pas 2. Descomponem el pes. La part que estira rampa avall és \(P_x = m g \sin\alpha\); la que pressiona contra la rampa és \(P_y = m g\cos\alpha\).

Pas 3. Eix y: trobem la normal. La caixa no s'enlaira ni s'enfonsa, per tant les forces en y s'anul·len: \(N = P_y \approx 42{,}4\ \text{N}\).

Pas 4. Calculem el fregament. $$F_{freg} = \mu N = 0{,}2\cdot 42{,}4 \approx 8{,}49\ \text{N}$$

Pas 5. Segona llei de Newton a l'eix x. Força a favor menys força en contra = massa per acceleració: $$P_x - F_{freg} = m a \;\Rightarrow\; a = \frac{24{,}5 - 8{,}49}{5} \approx 3{,}20\ \text{m/s}^2$$ (Fórmula equivalent: \(a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)\).)

Pas 6. Velocitat al final (MRUA sense temps). $$v^2 = v_0^2 + 2aL = 0 + 2\cdot 3{,}20\cdot 4 \Rightarrow v \approx 5{,}06\ \text{m/s}$$

Pas 7. Temps. $$v = v_0 + a t \Rightarrow t = \frac{5{,}06}{3{,}20} \approx 1{,}58\ \text{s}$$

Errors típics

• Canviar sinus i cosinus: el que fa baixar és el sinus.
• Posar \(N = m g\): en un pla inclinat la normal és \(m g\cos\alpha\).
• Sumar el fregament en lloc de restar-lo.
• Calculadora en radians en lloc de graus.

Resultat

a) \(a \approx 3{,}20\ \text{m/s}^2\) · b) \(v \approx 5{,}06\ \text{m/s}\) · c) \(t \approx 1{,}58\ \text{s}\)