Tir parabòlic: problema resolt pas a pas

Enunciat

Es xuta una pilota des del terra amb una velocitat de 20 m/s formant 30° amb l'horitzontal. Sense fregament amb l'aire, calcula: a) el temps de vol; b) l'abast (distància horitzontal); c) l'altura màxima. Pren $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$.

Dibuix

Dades

$v_0 = 20\ \text{m/s}$
$\alpha = 30^\circ$
$y_0 = 0$, $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$

Pas a pas

Pas 1. La idea clau. Un tir parabòlic són dos moviments alhora: en horitzontal, velocitat constant (MRU); en vertical, com una pedra llançada amunt (MRUA amb $-g$).

Pas 2. Descomponem la velocitat inicial. $$v_{0x} = 20\cos 30^\circ \approx 17{,}32\ \text{m/s}\qquad v_{0y} = 20\sin 30^\circ = 10\ \text{m/s}$$

Pas 3. Escrivim les equacions. $$x = 17{,}32\,t\qquad y = 10\,t - 4{,}9\,t^2$$

Pas 4. Temps de vol. La pilota torna a terra quan $y = 0$: $$10t - 4{,}9t^2 = 0 \Rightarrow t(10 - 4{,}9t)=0 \Rightarrow t = \frac{10}{4{,}9} \approx 2{,}04\ \text{s}$$ (La solució $t=0$ és el moment del xut.)

Pas 5. Abast. Posem aquest temps a l'equació de x: $$x = 17{,}32\cdot 2{,}04 \approx 35{,}3\ \text{m}$$

Pas 6. Altura màxima. A dalt de tot la velocitat vertical és zero: $v_y = 10 - 9{,}8t = 0 \Rightarrow t \approx 1{,}02\ \text{s}$ (la meitat del vol). $$y_{màx} = 10\cdot 1{,}02 - 4{,}9\cdot 1{,}02^2 \approx 5{,}10\ \text{m}$$

Errors típics

Pensar que a dalt de tot la velocitat és zero: només és zero la vertical; la horitzontal continua sent 17,32 m/s.
Posar $g$ també a l'eix horitzontal.
Oblidar el signe menys de $g$ (cap avall).
Calculadora en radians.

Resultat

a) $t \approx 2{,}04\ \text{s}$ · b) $x \approx 35{,}3\ \text{m}$ · c) $h_{màx} \approx 5{,}10\ \text{m}$